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Analisi

 

Classe quinta

                                                                          

STUDIO COMPLETO DELLA FUNZIONE OMOGRAFICA:

 

 

 

 

Esempio:

 

 

1) Classificazione e C.E.:

 

    Funzione algebrica razionale fratta di secondo grado (omografica),

 

C.E.:    .

 

2) Simmetrie :

 

    Non è simmetrica sia rispetto all’asse y sia rispetto all’origine.

 

3) Studio del segno :

 

Si pone:

 

ossia:                                               

 

  

 

 

La funzione è positiva per , è negativa per , è nulla per , non esiste per .

 

4) Intersezione con gli assi cartesiani :

 

 

 

 

5)  Asintoti :

 

La funzione ha due asintoti: uno verticale ed uno orizzontale, infatti,sapendo che

 

 e

 

allora  è l’equazione dell’asintoto verticale.

 

Inoltre,

,

 

forma d’indecisione, quindi per poter calcolare il limite si può applicare il Teorema di De L’Hôpital, pertanto, si ottiene:

 

,

 

analogamente si ha per , allora  è l’equazione dell’asintoto orizzontale.

                                                                                         

 

6) Crescenza o decrescenza :

 

Calcolando la derivata prima si ha:

 

,

 

studiando il segno della derivata prima si ottiene:

 

,

 

                        ,

 

pertanto, essendo la derivata prima sempre positiva nel suo dominio, la funzione data è sempre crescente, quindi non possono esistere massimi, minimi relativi e punti di flesso a tangente orizzontale.

 

 

7) Concavità e convessità :

 

Calcolando la derivata seconda si ha:

 

,

 

studiando il segno della derivata seconda della funzione si ottiene:

 

,

 

                      ,

 

pertanto, per  la derivata seconda è negativa, quindi la funzione data è convessa, mentre per  la derivata seconda è positiva quindi la funzione data è concava, pertanto, non possono esistere punti di flesso a tangente obliqua.

 

 

8) Grafico :

 

 

 

Osservazioni:

 

*      Si chiama funzione omografica la funzione

 con a, b, c (distinto da zero) e d coefficienti reali.

 

*      In una funzione omografica per determinare sia l’asintoto verticale sia l’asintoto orizzontale si possono utilizzare le seguenti formule:

 

ASINTOTO VERTICALE  ,

ASINTOTO ORIZZONTALE  .

 

*      La funzione omografica è simmetrica nel punto d’intersezione dei suoi asintoti, inoltre, mediante la traslazione che porta il punto nel punto  essa assume la forma dell’iperbole equilatera avente come nuovo sistema di assi cartesiani i sui asintoti.

 

*      Teorema di De L’Hôpital :

Data una funzione del tipo:  , se si verifica che  allora sussiste la seguente regola: .

 

 

 

 

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