Prof. Mauro
STUDIO DELLA FUNZIONE PARABOLA
QUARTICA
1) Classificazione e Campo di esistenza
Funzione algebrica razionale intera di quarto grado, parabola quartica, la sua forma implicita è .
C. E.: (simbologia insiemistica) o (simbologia topologica).
2) Simmetrie
Si pone allora ossia , quindi la funzione non è simmetrica sia rispetto all’asse delle ordinate (pari) che rispetto all’origine degli assi cartesiani (dispari), perché: .
3)
Studio del segno
Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:
cioè: , pertanto, si può scrivere:
1 fattore: ,
2 fattore: cioè quindi per .
Quindi, per e per la funzione è positiva, mentre per la funzione è negativa. Infine, per e per la funzione è nulla.
4) Intersezioni con gli assi cartesiani
ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.
interseca l’asse delle x, oltre nel punto , anche nel punto .
5) Andamento della funzione agli estremi
dell’intervallo del dominio
Poiché l’intervallo di esistenza della funzione è , si calcolano i limiti della funzione negli estremi dell’intervallo del campo di esistenza. Pertanto, per si ha . Il limite dà una forma indeterminata, per eliminare la forma di indecisione si mette in evidenza la di grado massimo, cioè
,
mentre per si ottiene che .
6) Crescenza e/o decrescenza
Si calcola la derivata prima della funzione, cioè: , si pone poi la derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè: , ossia: , pertanto, si ottiene:
Quindi, la derivata prima è negativa per , pertanto, la funzione data è decrescente per , mentre la derivata prima è positiva per , ivi, la quartica è crescente. Infine, nel punto dove la derivata prima è nulla si ha che la funzione data è costante, ossia per .
7) Massimi, minimi
relativi e flessi a tangente orizzontale
Nell’intorno del valore 1 la derivata prima presenta la seguente combinazione di segni:
pertanto 1 è un minimante, essendo la funzione data ha nel punto un punto di minimo relativo.
8)
Concavità e/o convessità
Si calcola la derivata seconda della funzione, cioè: , si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero, cioè: , pertanto si ottiene , cioè la disequazione è sempre verificata, quindi la derivata seconda è sempre positiva, tranne nel punto dove si annulla, quindi la funzione data è concava verso l’alto per tutto l’asse reale.
9)
Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua
Poiché nell’intorno del valore 0 la funzione non cambia di concavità la curva non ha punti di flesso.
Si osserva che il punto di minimo relativo, precedentemente trovato, è anche un punto di minimo assoluto per la funzione.
10)
Grafico