Prof. Mauro La Barbera

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Analisi

Classe quinta

 

STUDIO DELLA FUNZIONE PARABOLA QUARTICA

 

 

 

1)   Classificazione e Campo di esistenza  

 

Funzione algebrica razionale intera di quarto grado, parabola quartica, la sua forma implicita è .

 C. E.: (simbologia insiemistica) o (simbologia topologica).

 

 

2)   Simmetrie

 

Si pone  allora  ossia , quindi la funzione non è simmetrica sia rispetto all’asse delle ordinate (pari) che rispetto all’origine degli assi cartesiani (dispari), perché:  .

 

 

3)     Studio del segno

 

Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:

       cioè:  , pertanto, si può scrivere:

      1 fattore: ,

      2 fattore:  cioè quindi per  .

 

 

Quindi, per  e per  la funzione è positiva, mentre per  la funzione è negativa. Infine, per   e per  la funzione è nulla.

 

 

 

4)   Intersezioni con gli assi cartesiani

 

ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.

interseca l’asse delle x, oltre nel punto , anche nel punto  .

 

 

5)   Andamento della funzione agli estremi dell’intervallo del dominio

 

Poiché l’intervallo di esistenza della funzione è , si calcolano i limiti della funzione negli estremi dell’intervallo del campo di esistenza. Pertanto, per  si ha   .  Il limite dà una forma indeterminata, per eliminare la forma di indecisione si mette in evidenza la  di grado massimo, cioè

,

mentre per  si ottiene che  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


6)   Crescenza e/o decrescenza

 

Si calcola la derivata prima della funzione, cioè:  , si pone poi la derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè:  , ossia: , pertanto, si ottiene:

 

 

Quindi, la derivata prima è negativa per , pertanto, la funzione data è decrescente per  , mentre la derivata prima è positiva per  , ivi, la quartica è crescente. Infine, nel punto dove la derivata prima è nulla si ha che la funzione data è costante, ossia per .

 

 

7)   Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale

     

Nell’intorno del valore 1 la derivata prima presenta la seguente combinazione di segni:

 

 

pertanto 1 è un minimante, essendo  la funzione data ha nel punto  un punto di minimo relativo.

 

 

8)     Concavità e/o convessità

 

Si calcola la derivata seconda della funzione, cioè: , si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero, cioè: , pertanto si ottiene , cioè la disequazione è sempre verificata, quindi la derivata seconda è sempre positiva, tranne nel punto  dove si annulla,  quindi la funzione data è concava verso l’alto per tutto l’asse reale.

 

 

 

9)     Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua

 

Poiché nell’intorno del valore 0 la funzione non cambia di concavità la curva non ha punti di flesso.

Si osserva che il punto di minimo relativo, precedentemente trovato, è anche un punto di minimo assoluto per la funzione.

 

 

 

10)   Grafico

 

 

 

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