Mauro La Barbera
FRAMMENTI DI TEORIA
1)
Concetto di funzione.
La funzione è una legge (o una relazione) che associa ad un
elemento 
di un insieme uno ed
un solo elemento 
di un altro insieme.
2)
Classificazione delle funzioni.
ALGEBRICHE
RAZIONALI IRRAZIONALI
INTERE FRATTE INTERE FRATTE
TRASCENDENTI (NON ALGEBRICHE)
Trigonometriche 
Logaritmiche 
Esponenziali 
3)
Funzione algebrica.
Si dice algebrica quando la sua equazione ha la forma
polinomiale, se non è algebrica si dice trascendente.
4)
Funzione razionale.
Si dice razionale quando la variabile 
non è sotto il “segno
di radice”, se non è razionale si dice irrazionale.
5)
Funzione intera.
Si dice intera quando la variabile si trova solo al numeratore,
se non è intera si dice fratta o frazionaria.
6)
Campo di esistenza.
C.E. o dominio di una funzione è l’insieme 
di tutti i valori
reali che si possono attribuire alla variabile per determinare i
valori corrispondenti della 
.
7)
Campo della variabilità.
C.V. o insieme immagine di una funzione è l’insieme 
dove i suoi elementi
sono tutte le immagini degli elementi di .
8)
Definizioni di funzioni pari e dispari.
v
La funzione è pari
quando è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, ossia
.
Un esempio di funzione pari è la
parabola di equazione: .
v
La funzione è dispari
quando è simmetrica rispetto all’origine degli assi, ossia
.
Un esempio di funzione dispari è la parabola cubica di
equazione: 
.
9)
Funzioni Monotone.
Classificazione:
monotona
in senso stretto: funzione crescente
monotona in senso stretto: funzione decrescente
monotona in senso largo: funzione non decrescente
funzione monotona in senso largo: funzione non crescente
Definizioni:
v
Funzione monotona crescente 
v
Funzione monotona decrescente 
v
Funzione monotona non decrescente 
v
Funzione monotona non crescente 
10) Reciproche
posizioni tra una retta ed una curva.
Per esempio, consideriamo una retta ed una parabola:
1) La parabola è esterna alla retta, viceversa, la retta è esterna alla parabola (non si intersecano).
2) La parabola è secante alla retta, viceversa, la retta è secante alla parabola (si intersecano in due punti distinti).
3) La parabola è tangente alla retta, viceversa, la retta è tangente alla parabola (si intersecano in due punti coincidenti).
11)
Convessità di una curva.
· Una curva si dice CONVESSA VERSO IL BASSO ( CONCAVA VERSO L’ALTO) in un punto se la tangente passante per quel punto si trova al di sotto della curva
12) Punto di flesso.
· Il punto di flesso è un punto dove la curva cambia di concavità, la retta che passa per quel punto è una tangente.
13) Classificazione dei punti di flesso.
|
|
14)
Massimi e minimi
relativi.
Si
dice che la funzione f ha in 
un punto di massimo
[rispettivamente minimo] relativo se esiste un intorno di tale che per ogni x del dominio in tale intorno si ha che
[rispettivamente 
].
L’ascissa
, in generale, si
chiama estremante. Se è l’ascissa del punto di massimo si dice massimante,
invece se è l’ascissa del punto di minimo si dice minimante.
15) Funzione continua in un punto
·
Una funzione si dice continua in un punto di
ascissa se si verifica la
seguente uguaglianza:
.
Ossia quando si verificano le tre condizioni:
I. Esiste
il valore della funzione nel punto di ascissa
;
II. Esiste
il limite finito della funzione per che tende ad ;
III. Il
limite coincide con il valore della funzione nel punto di ascissa .
Cioè:
I. 
;
II. 
;
III. 
.
16) Funzione continua in un intervallo
Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti i punti dell’intervallo.
17) Punto di discontinuità
Si
definisce punto di discontinuità quel punto di ascissa dove la funzione non
risulta continua.
18)
Classificazione
dei punti di discontinuità
Ø
Si dice di prima
specie quando in esistono finiti i
limiti desto e sinistro e sono fra loro distinti, ossia:
Ø
Si dice di seconda
specie quando in o non esiste almeno
uno dei due limiti, destro e sinistro, oppure quando almeno uno di questi due
limiti vale infinito, in quest’ultima ipotesi si dice che la funzione ha, in , un punto di infinito.
Ø
Si dice di terza
specie, se esiste finito il 
ma il valore di 
o non esiste in , oppure esiste ma risulta: 
. In questo caso si dice anche che nel punto si presenta per la funzione una
discontinuità eliminabile.
19)
Asintoto
L’asintoto è una retta che risulta essere tangente ad una curva nel suo punto all’infinito. Se la tangente è parallela all’asse delle ordinate allora l’asintoto si dice verticale, se la tangente è parallela all’asse delle ascisse allora l’asintoto si dice orizzontale, se la tangente risulta essere inclinata rispetto agli assi cartesiani allora l’asintoto si dice obliquo.
20)
Asintoto
verticale
Si
dice che la retta di equazione 
è un asintoto
verticale per il grafico della funzione 
se 
.
21) Asintoto orizzontale
Si
dice che la retta di equazione 
è un asintoto
orizzontale a destra per il grafico della funzione 
se 
.
Si
dice che la retta di equazione 
è un asintoto
orizzontale a sinistra per il grafico della funzione se 
.
22) Asintoto obliquo
Si
dice che la retta di equazione 
è un asintoto obliquo
a destra per il grafico della funzione se esistono finiti i
seguenti limiti: 
con 
e 
Si
dice che la retta di equazione è un asintoto obliquo
a sinistra per il grafico della funzione se esistono finiti i
seguenti limiti: 
con e 
23) Rapporto
incrementale
Si dice rapporto incrementale della funzione relativo al punto di
ascissa e all’incremento 
la quantità: 
E precisamente si chiama rapporto incrementale destro se 
, mentre si dice rapporto incrementale sinistro se 
.
24) Significato
geometrico di rapporto incrementale
Il rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto è il coefficiente angolare della retta secante passante per il punto dato e per il punto di ascissa incrementata.
25)
Derivata di
una funzione
Chiamasi derivata della funzione nel suo punto di
ascissa il limite, se esiste
ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento h
della variabile, ossia: 
. La derivata della
funzione nel punto di ascissa si suole indicare con
una qualunque delle seguenti notazioni: 
, 
oppure 
.
26) Significato geometrico della derivata di una funzione
La derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva in quel punto.